[2016년 운정고]

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[2학년 2학기 기말 기하와 벡터]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t ( t>0)]에서의 위치 [eqn: (x,```y)]가 [eqn: x= 2sint], [eqn: y=-2cost]일 때, [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는?

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

좌표공간에서 점 [eqn: {rmA}(a,```1-a,```a+2)]의 [eqn: x]축 대칭점을 [eqn: rmA prime],
점 [eqn: {rmB}(1,```b,```-c)]의 [eqn: xz]평면에 대한 대칭점을 [eqn: rmB prime]이라고 할 때,
점 [eqn: rmA']와 점 [eqn: rmB prime]는 원점에 대하여 대칭이다. 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에
대하여 [eqn: abc]의 값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: - 1over2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

좌표공간에서 두 점 [eqn: {rmA}(a,```b,```6)], [eqn: {rmB}(4,```-6,```c)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]가 [eqn: x]축에 의해 [eqn: 1:2]로 내분되고, [eqn: 3:2]로 외분하는 점이 [eqn: yz]평면 위에 있다고 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

①

① [eqn: -3]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 9]

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정팔면체에서
[eqn: rm( vec{AB} + vec{AD} ) CDOT vec{CE}]의 값을 [eqn: a], [eqn: rm vec{AB} CDOT vec{AF}]의 값을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

좌표공간의 네 점 [eqn: rmA(1,```3,```-1)], [eqn: rmB(-1,```1,```2)], [eqn: rmC(2,```-2,```0)],
[eqn: {rmD}(a,```b,```c)]에 대하여 사각형 [eqn: rmABCD]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영을 사각형 [eqn: rm A prime B prime C prime D prime]라 하자. 사각형 [eqn: rm A prime B prime C prime D prime]이 직사각형일 때, 삼각형 [eqn: rmABD]의 무게중심의 좌표가 [eqn: (d,```d,```d)]이다. [eqn: ab+cd]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 좌표공간에서 두 원
[eqn: C _{1} :x ^{2} +y ^{2} =3,```z=1], [eqn: C_2 :x^2 +y^2 =4 ,```z=2root3]
이 있다. 원 [eqn: C_1] 위의 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: C_2] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여,
[eqn: rm vec{OP} CDOT vec{OQ}]의 최댓값은?

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 4root3]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 6root3]	⑤ [eqn: 8]

정사면체 [eqn: rmOABC]에서 정삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심을 [eqn: rmG]라 하고, 꼭짓점 [eqn: rmO]에서 밑면 [eqn: rmABC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, 선분 [eqn: rmGH]가 선분 [eqn: rmOH]와 이루는 각 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos^2 theta]의 값은?

⑤

① [eqn: 1over9]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 2over3]

직선 [eqn: x-2 over3 = y+1 over2 = z-1] 위의 한 점 [eqn: rmP]를 지나는 직선이 두 점 [eqn: (-3,```0,```0)], [eqn: (1,```-6,```0)]을 지난다. 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a,```b,```c)]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

④

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

그림과 같이 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 선분 [eqn: rmAE], [eqn: rmEF], [eqn: rmGC], [eqn: rmCD]의 중점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 하자. 두 평면 [eqn: rmPQRS]와, [eqn: rmEFGH]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos^2 theta]의 값은?

②

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 3over4]

좌표공간에서 구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 =50] 위의 점 [eqn: rmA(-3,```4,```5)]에서 구와 접하는 평면과 점 [eqn: (0,```2,```6)] 사이의 거리는?

①

① [eqn: 6root2 }over5]	② [eqn: 7root2}over5]	③ [eqn: 8root2} over5]

④ [eqn: 9root2} over5]	⑤ [eqn: 2root2]

평면 [eqn: alpha] 위에 있는 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지나는 직선을 [eqn: l]이라 하고 평면 [eqn: alpha] 위의 한 직선 [eqn: m]과 평면 [eqn: alpha] 밖의 한 직선 [eqn: n]이 직선 [eqn: l]과 평행하다. 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: m]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmB]에서 직선 [eqn: n]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라고 할 때, [eqn: bar{rmAB} =3], [eqn: bar{rmAC} =6], [eqn: bar{rmBD} =4], [eqn: bar{rmCD} =5]이다. 평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: rmACD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos theta]의 값은?

④

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③

④ [eqn: 3over4]	⑤ [eqn: root3 over2]

구 [eqn: S]가 평면 [eqn: alpha : x-y+z -2=0]과 만나 생기는 단면의 넓이가 [eqn: 11 over3 pi]이고, 평면 [eqn: beta : x-y+z -4 =0]과 만나 생기는 단면의 넓이가 [eqn: pi]이다. 구 [eqn: S]의 반지름의 값은?

②

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5over2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7over2]

좌표공간의 두 점 [eqn: rmA(-2,```0,```0)], [eqn: rmB(1,```3,```3)]에 대하여
[eqn: rm bar{AP} : bar{BP} =2:1]을 만족하는 점을 [eqn: rmP]라고 할 때, 점 [eqn: rmP]가 그리고
도형을 [eqn: H]라고 하자. 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

④

가. 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

나. [eqn: rmANGLE PAB]의 크기가 최대일 때, [eqn: rm bar{AP}]의 길이는

[eqn: 6]이다.

다. 도형 [eqn: H]가 [eqn: yz]평면에 의하여 잘린 단면에 넓이는

[eqn: 8pi]이다.

① 가	② 나	③ 가, 나

④ 나, 다	⑤ 가, 나, 다

좌표공간에서 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]는 [eqn: xy]평면과 거리가 각각 [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8] 떨어져 있고, 점 [eqn: rmA]는 [eqn: z]축 위에 존재한다. 삼각형 [eqn: rmABC]는 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형이고, 삼각형 [eqn: rmABC]를 평면 [eqn: z= -2] 위로의 정사영을 삼각형 [eqn: rmA prime B prime C prime]라 하자. 선분 [eqn: rmAA'], [eqn: rmBB'], [eqn: rmCC']과 평면 [eqn: x+2y-6z+3 =0]이 만나는 점을 각각 [eqn: rmA ''], [eqn: rmB''], [eqn: rmC '']라 할 때, 삼각형 [eqn: rmA '' B '' C'']의 넓이 [eqn: S]에 대하여 [eqn: S^2]의 값은? (단, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: z]좌표는 양수이다.)

③

① [eqn: 242]	② [eqn: 244]	③ [eqn: 246]

④ [eqn: 248]	⑤ [eqn: 250]

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 3root3]인 정사면체에서 세 모서리 [eqn: rmAB], [eqn: rmAD], [eqn: rmCD]의 중점을 각각 [eqn: rmL], [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라고 하자. 선분 [eqn: rmLM], [eqn: rmLN]의 평면 [eqn: rmABC] 위로의 정사영을 각각 선분 [eqn: rmLM'], [eqn: rmLN']이라고 할 때, 직선 [eqn: rmLM]과 직선 [eqn: rmLM']이 이루는 각의 크기 [eqn: theta_1], 직선 [eqn: rmLN]과 직선 [eqn: rmLN']이 이루는 각의 크기 [eqn: theta_2]에 대하여 [eqn: cos^2 theta_1 + cos^2 theta_2]의 값은? (단, [eqn: 0 le theta le pi over2])

②

① [eqn: 2over3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 4over3]

④ [eqn: 5over4]	⑤ [eqn: 6over5]

두 직선 [eqn: l : x-1 = z over-3 ,``` y=0]과 [eqn: l':x-1 = y over-2 , ```z=0]을 포함하는 평면을 [eqn: alpha]라 할 때, 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

④

가. 평면 [eqn: alpha]는 세 점 [eqn: (1,```0,```0)], [eqn: (0,```2,```0)], [eqn: (0,```0,```3)]을

지난다.

나. 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각 [eqn: theta]에 대하여

[eqn: costheta = 3over7]이다.

다. 평면 [eqn: alpha]와 직선 [eqn: x-1 = y+4 over-4 = z-3 over3] 사이의

거리는 [eqn: 6over7]이다.

① 가	② 나	③ 가, 나

④ 가, 다	⑤ 가, 나, 다

서술형

그림과 같은 직육면체에서 [eqn: rm barAB =barAD =4], [eqn: rmbarAE =6]이고, 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmAB]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 하자. 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA]를 출발하여 선분 [eqn: rmAE] 위를 움직이고 점 [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmG]를 출발하여 선분 [eqn: rmGC] 위를 움직이며, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 동시에 출발하여 같은 속력으로 움직인다. 선분 [eqn: rmMN]의 중점을 [eqn: rmT]라 할 때, 두 벡터 [eqn: rmvecTP], [eqn: rmvecNQ]의 내적 [eqn: rmvecTP cdot vecNQ]의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오.

최대 [eqn: 3], 최소 [eqn: -6]

그림의 직육면체에서 [eqn: rmbarAB =barAD =1], [eqn: rmbarAE =2]일 때, 두 직선
[eqn: rmAG], [eqn: rmBD] 사이의 거리를 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

[eqn: {sqrt {3}} over {3}]

좌표공간의 원점 [eqn: rmO]에서 구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 -8z+12=0]에 그은 접선의 접점을 [eqn: rmP]라 할 때, 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형을 밑면으로 하고 꼭짓점이 [eqn: rmO]인 원뿔의 부피를 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오.

[eqn: 3pi]

그림과 같은 사면체에서 [eqn: rmbarOA bot barOB], [eqn: rmbarOA bot barOC]이고, [eqn: rmbarOA =8],
[eqn: rmbarOB =barOC =6], [eqn: rmbarBC =4]이다. 두 물음에 답하시오.

(1) [eqn: rm bar{AO} BOT triangleOBC]이므로 [eqn: rm bar{AO} BOT barBC]이다,

[eqn: rm bar{AO} BOT barBC], [eqn: rm bar{AD} BOT bar{BC}]이므로 [eqn: rm triangleADO BOT bar{BC}]이다.

[eqn: rm triangleADO BOT bar{BC}]이므로 [eqn: rm bar{OD} BOT bar{BC}]

(2) [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

(1) 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmbarBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라 할 때,

선분 [eqn: rmbarOD]와 선분 [eqn: rmbarBC]가 수직임을 증명하시오.

(2) (1)을 이용하여 평면 [eqn: rmABC]와 평면 [eqn: rmOBC]가 이루는 각의

크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: costheta]의 값을 구하고, 그 풀이과정을

서술하시오.

[2016년 운정고]

[2학년 2학기 기말 기하와 벡터]

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